Définition :
Soient un point \(A\) et un vecteur non nul \(\vec u\)
L'ensemble $${{D_{A,\vec u} }}={{\{A+\lambda\vec u\mid\lambda\in{\Bbb R}\} }}$$ est appelé droite (affine)
Le vecteur \(\vec u\) est dit directeur de cette droite
On dit aussi que cette droite passe par \(A\) et a pour direction \(\vec u\)
(Point, Droite, Vecteur) Paramétrisation - Paramétrage
Représentations
Equation cartésienne
Proposition :
Soit \((a,b,d)\in{\Bbb R}^3\) avec \((a,b)\ne(0,0)\)
Alors l'ensemble $$\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid ax+by=d\}$$ est une droite de vecteur normal \((a,b)\) et de vecteur directeur \((-b,a)\)
L'équation $$ax+by+d$$ est dite équation cartésienne de cette droite
Par abus de notation, on note $${{\{ax+by=d\} }}:={{\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid ax+by =d\} }}$$
Equation cartésienne normalisée
Définition :
On dit que l'équation cartésienne \(ax+by=d\) est normalisée si $$\lVert (a,b)\rVert=1$$
Propriétés des équations cartésiennes
Nombre d'équations cartésiennes
Propriété :
Toute droite possède une infinité de équations cartésiennes (toutes proportionnelles), dont exactement deux sont normalisées
Représentation paramétrique
Si \(\vec u={{a}}\vec\imath+{{b}}\vec\jmath=\binom { {{a}} }{ {{b}} }\) un vecteur directeur de la droite \(\mathscr D\) avec \(A({{x_0}},{{y_0}})\) un point de \(\mathscr D\), on donne la représentation paramétrique comme : $$\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{cases}\quad t\in\Bbb R$$
(Droite, Droite, Point)
Proposition :
Si \(\vec u\;||\;\vec v\), alors \(\vec v\) est un vecteur directeur de \(D_{A,\vec u}\)
(Vecteurs colinéaires - Colinéarité)
Proposition :
Soient \(A\ne B\) deux points distincts d'une droite \(D_{X,\vec u}\)
Alors \(\overrightarrow{AB}\;||\;\vec u\) et \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \(D_{X,\vec u}\)
Proposition :
Si \(\vec u\) est un vecteur directeur d'une droite, l'ensemble des vecteurs directeurs de cette droite est $$\{\lambda\vec u\mid\lambda\in{\Bbb R}^*\}$$
Egalité de droites
Proposition :
\(D_{A,\vec u}=D_{B,\vec v}\) si et seulement si \(\vec u\;||\;\vec v\) et \(B\in D_{A,\vec u}\) (ou \(A\in D_{B,\vec v}\))
Proposition :
Si une droite contient une autre, alors les deux droites coïncident
Proposition :
Par deux point(s) passe une unique droite(s)
Proposition :
Si \(\#(D_1\cap D_2)\gt 1\) (i.e. Il y a plus d'une intersection entre \(D_1\) et \(D_2\)), alors \(D_1=D_2\)
Proposition :
Deux droite \(\{a_1x+b_1y=d_1\}\) et \(\{a_2x+a_2y=d_2\}\) sont égales si et seulement si $$(a_1:b_1:d_1)=(a_2:b_2:d_2)$$
Lien avec les barycentres
Proposition :
Soient \(A\ne B\) deux points distincts d'une droite \(D\)
Alors \(D\) est l'ensemble de barycentres de \(A\) et \(B\)
(Barycentre)
Image d'une droite
Par une application affine
Proposition :
L'image d'une droite par une application affine est une droite ou un point
Proposition :
L'image d'une droite par une application affine injective (ou bijective) est une droite
(Fonction affine, Point, Injection, Bijection)
Par une translation
Proposition :
L'image par une translation d'une droite est une droite parallèle
(Translation)
Proposition :
Une droite est invariante par une translation \(T_\vec v\) si \(\vec v\) est un vecteur directeur de cette droite
Par une homothétie
Proposition :
L'image par homothétie non nulle d'une droite est une droite parallèle
Proposition :
Une droite est invariante par une homothétie (non nulle) si et seulement si son centre est sur cette droite
(Homothétie)
